[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/db/mysqli.php on line 43: mysqli_connect() [function.mysqli-connect]: Headers and client library minor version mismatch. Headers:50545 Library:50636
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/session.php on line 1007: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4284: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4286: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4287: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
[phpBB Debug] PHP Notice: in file /includes/functions.php on line 4288: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /includes/functions.php:3493)
 Profesorek » Matematyka » Problem o szczęśliwym...

[Rozmiar: 12837 bajtów]
      Wszystko zaczęło się w roku 1932, kiedy to Esther Klein poruszyła ciekawe zagadnienie geometryczne. Zauważyła ona, że spośród dowolnych pięciu punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie są współliniowe, zawsze można wybrać cztery, które są wierzchołkami czworokąta wypukłego.
 
      Bliżej zastanówmy się nad tą obserwacją.
Mamy płaszczyznę, a na niej 5 punktów. Jednak nie są to dane punkty z góry ustalone ale dowolne, czyli takich piątek jest nieskończenie wiele.
      Co zauważyła Esther Klein ?
Mianowicie, że wśród  KAŻDYCH  5 punktów, jakie wybierzemy na płaszczyźnie (z których żadne trzy nie są współliniowe),  ZAWSZE  znajdziemy cztery, które utworzą czworokąt wypukły będąc jego wierzchołkami.
      Popatrzmy na dowód:
Mimo, iż na płaszczyźnie interesujących nas piątek punktów jest nieskończenie wiele, możemy podzielić je na trzy grupy ze względu na tzw. powłokę wypukłą tych punktów, czyli najmniejszy wielokąt wypukły zawierający wybrane 5 punktów.
rysunek 1.rysunek 2.rysunek 3.
[Rozmiar: 9932 bajtów]
Grupa pierwsza to te wszystkie przypadki, w których powłoka wypukła jest pięciokątem (rysunek 1.). Wtedy w sposób oczywisty każda czwórka punktów tworzy czworokąt wypukły.
[Rozmiar: 6358 bajtów]
Grupa druga (rysunek 2.) jest zbiorem tych piątek punktów, których powłoka wypukła jest czworokątem. Zatem punkty będące jej wierzchołkami tworzą czworokąt wypukły.
[Rozmiar: 5753 bajtów]
Grupa trzecia (rysunek 3.) to te zbiory 5-cio punktowe, których powłoka wypukła jest trójkątem. Wtedy pozostałe dwa punkty leżą wewnątrz tego trójkąta. Poprowadźmy przez nie prostą. Ponieważ podzieli ona płaszczyznę na dwie części, to dwa z trzech punktów tworzących trójkąt znajdą się w jednej z tych części. Razem z punktami leżącymi na prostej utworzą one czworokąt wypukły.
[Rozmiar: 6505 bajtów]
Co kończy dowód.
 
      Esther Klein zachęcona tą obserwacją zaproponowała rozszerzenie problemu na dowolną liczbę punktów i postawiła pytanie:
Czy dla dowolnej liczby naturalnej  n  można znaleźć liczbę  N  taką, że w każdym zbiorze zawierającym co najmniej N punktów istnieje podzbiór  n-elementowy tworzący  n-kąt wypukły ?
To jedno pytanie zawiera w istocie dwa problemy:
  1. Czy dla każdego n istnieje liczba N o powyższej własności ?
  2. Jeżeli tak, to jaka jest jej najmniejsza wartość ? ( oznaczmy ją przez N(n) )
[Rozmiar: 180188 bajtów]     Wkrótce istnienie liczby N(n) udowodnił György Szekeres. Osiągnięcie to tak zaimponowało Esther Klein, że cztery lata później tych dwoje pobrało się, a sam problem został nazwany przez Erdősa "Problemem o szczęśliwym zakończeniu".     
Spójrzmy teraz na problem drugi. Jaka jest wartość N(n) dla każdego n ?

N(3)=3, ponieważ każde trzy punkty płaszczyzny są wierzchołkami trójkąta, który jest przecież figurą wypukłą i jest to minimalna liczba, dla której własność ta jest prawdziwa, ponieważ trójkąt jest najmniejszym wielokątem wypukłym - w sensie liczby wierzchołków
N(4)=5, ponieważ jak już wykazała Esther Klein 5 punktów wystarczy, aby zawsze znaleźć wśród nich wierzchołki czworokąta wypukłego i jest to liczba najmniejsza, co wynika wprost z istnienia czworokątów wklęsłych
N(5)=9 udowodnił Endre Makai podając przykład 8-kąta, wśród którego wierzchołków nie istnieje takie 5, które mogłyby być wierzchołkami 5-ciokąta wypukłego oraz analizując różne przypadki powłoki wypukłej dowolnych 9 punktów na płaszczyźnie i w kazdym przypadku pokazując istnienie 5-ciokąta wypukłego.
Są to jedyne dokładne wartości N(n) znane do dzisiaj. Jednak popatrzmy na regułę jaką w nich zauważono:
N(3) = 3 \: = \: 2^1 \: + \: 1
N(4) = 5 \: = \: 2^2 \: + \: 1
N(5) = 9 \: = \: 2^3 \: + \: 1
Na tej podstawie wysunięto hipotezę:
Dla każdego   n\geq 3     N(n) \: = \: 2^{n-2} \: + \: 1 .